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2014
廣州二模理科
數(shù)學試題及答案（word版）
陽光高考門戶全國首發(fā)
試卷類型：A
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
2014.4
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答.漏涂、錯涂、多涂的，答案無效.
5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式：錐體的體積公式是,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若復數(shù)滿足 i，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為
A． B． C．i D．i
2．若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則的值為
A． B． C． D．
3．命題“對任意R，都有”的否定是
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．對任意R，都有
4. 將函數(shù)R的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)
，則函數(shù)
A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
5．有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字與，另一張的正反面分別寫著數(shù)字與，
將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是
A． B． C． D．
6．設分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段
的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為
A． B．
C． D．
7．一個幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體
的體積為
A． B．
C． D．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
8．將正偶數(shù)按表的方式進行
排列，記表示第行第列的數(shù)，若
，則的值為
A． B．
C． D．
表1
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9．不等式的解集為 .
10．已知的展開式的常數(shù)項是第項，則正整數(shù)的值為 .
11．已知四邊形是邊長為的正方形，若，則的值
為 .
12．設滿足約束條件 若目標函數(shù)的最大值
為，則的最大值為 .
13．已知表示不超過的最大整數(shù)，例如.設函數(shù)，
當N時，函數(shù)的值域為集合，則中的元素個數(shù)為 .
（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）
14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，直線為參數(shù)與
圓為參數(shù)相切，切點在第一象限，則實數(shù)的值為 .
15．（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點在線段上，且
，連接，與相交于點，若△的面積為 cm，則
△的面積為 cm.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
如圖2，在△中，是邊的中點，
且，.
(1) 求的值；
（2）求的值.
圖
17．（本小題滿分12分）
一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣
本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為，，，，
由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖.
（1）求的值；
（2）根據樣本數(shù)據，試估計盒子中小球重量的平均值；
（注：設樣本數(shù)據第組的頻率為，第組區(qū)間的中點值為，
則樣本數(shù)據的平均值為.）
（3）從盒子中隨機抽取個小球，其中重量在內
18．（本小題滿分14分）
如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，∥平面，
，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.
圖
19．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列的前項和為，且，對任意N，都有.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
20．（本小題滿分14分）
已知定點和直線，過點且與直線相切的動圓圓心為點，記點的軌跡為曲線.
(1) 求曲線的方程;
(2) 若點的坐標為, 直線R，且與曲線相交于兩
點，直線分別交直線于點. 試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個
定點? 若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)R在點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當N，且時，.
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應的分數(shù)．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．
4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B C D A C
二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9． 10． 11． 12． 13．
14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（1）解：在△中，，，
∴. ……………4分
（2）解：由（1）知，，且，
∴. ……………6分
∵是邊的中點，
∴.
在△中，，………8分
解得. ……………10分
由正弦定理得，， ……………11分
∴. ……………12分
17．（本小題滿分12分）
(1) 解：由題意，得， ……………1分
解得. ……………2分
（2）解：個樣本小球重量的平均值為
�。ǹ耍�. ……………3分
由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為克. ……………4分
（3）解：利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為，則.
……………5分
的取值為， ……………6分
，，
，. ……………10分
∴的分布列為：
……………11分
∴. ……………12分
（或者）
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：取的中點，連接，則，
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥，即∥. ……………1分
∵
∴四邊形是平行四邊形. ……………2分
∴∥，.
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………3分
在△中，，，，
∴，
∴. ……………4分
∴，即.
∵四邊形是正方形，
∴. ……………5分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………6分
（2）證法1：連接，與相交于點，則點是的中點，
取的中點，連接，，
則∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，且 .……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
∴平面.
∵平面，
∴. ……………10分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………11分
∴是直線與平面所成的角. ……………12分
在Rt△中，. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
證法2：連接，與相交于點，則點是的中點，
取的中點，連接，，
則∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，且. ……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
∴平面. ……………8分
以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，則，，，.
∴，，. ……………9分
設平面的法向量為，由，，
得，，得.
令，則平面的一個法向量為. ……………10分
設直線與平面所成角為，
則. ……………11分
∴，. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
19．（本小題滿分14分）
（1）解法1：當時，，，……1分
兩式相減得， ……………3分
即，得. ……………5分
當時，，即. ……………6分
∴數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列.
∴. ……………7分
解法2：由，得， ……………1分
整理得，， ……………2分
兩邊同除以得，. ……………3分
∴數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列.
∴.
∴. ……………4分
當時，. ……………5分
又適合上式， ……………6分
∴數(shù)列的通項公式為. ……………7分
（2）解法1：∵，
∴. ……………9分
∴，①
，② ……………11分
�、佗诘�.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：∵，
∴. ……………9分
∴.
由， ……………11分
兩邊對取導數(shù)得，. ………12分
令，得.
……………13分
∴ . ……………14分
20．（本小題滿分14分）
（1）解法1：由題意, 點到點的距離等于它到直線的距離,
故點的軌跡是以點為焦點, 為準線的拋物線. ……………1分
∴曲線的方程為. ……………2分
解法2：設點的坐標為,依題意, 得,
即, ……………1分
化簡得.
∴曲線的方程為. ……………2分
(2) 解法1: 設點的坐標分別為，依題意得，.
由消去得，
解得.
∴. ……………3分
直線的斜率，
故直線的方程為. ……………4分
令，得，
∴點的坐標為. ……………5分
同理可得點的坐標為. ……………6分
∴
. ……………7分
∴. ……………8分
設線段的中點坐標為，
則
. ……………9分
∴以線段為直徑的圓的方程為.
……………10分
展開得. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點. ……………14分
解法2：由（1）得拋物線的方程為.
設直線的方程為，點的坐標為，
由解得 ∴點的坐標為. …………3分
由消去，得，
即，解得或. ……………4分
∴，.
∴點的坐標為. ……………5分
同理，設直線的方程為，
則點的坐標為，點的坐標為. …………6分
∵點在直線上，
∴.
∴. ……………7分
又，得，
化簡得. ……………8分
設點是以線段為直徑的圓上任意一點，則， ……………9分
得， ……………10分
整理得，. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點. ……………14分
21．（本小題滿分14分）
（1）解：∵， ∴.
∵直線的斜率為，且過點， ……………1分
∴即解得. ……………3分
（2）解法1：由（1）得.
當時，恒成立，即，等價于.
……………4分
令，則. ……………5分
令，則.
當時，，函數(shù)在上單調遞增，故.
……………6分
從而，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，
故. ……………7分
因此，當時，恒成立，則. ……………8分
∴所求的取值范圍是. ……………9分
解法2：由（1）得.
當時，恒成立，即恒成立. ……………4分
令，則.
方程（﹡）的判別式.
（ⅰ）當，即時，則時，，得，
故函數(shù)在上單調遞減.
由于，
則當時，，即，與題設矛盾. …………5分
�。áⅲ┊�，即時，則時，.
故函數(shù)在上單調遞減，則，符合題意. ………6分
(ⅲ) 當，即時，方程（﹡）的兩根為，
則時，，時，.
故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
從而，函數(shù)在上的最大值為. ………7分
而，
由（ⅱ）知，當時，，
得，從而.
故當時，，符合題意. ……………8分
綜上所述，的取值范圍是. ……………9分
（3）證明：由（2）得，當時，，可化為， …10分
又，
從而，. ……………11分
把分別代入上面不等式，并相加得，
……………12分
……………13分
. ……………14分
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