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陽光高考門戶全國首發(fā)：2014
廣州二模文科
數(shù)學試題及答案（word版）
試卷類型：A
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
2014．4
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再作答.漏涂、錯涂、多涂的，答案無效.
5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式： 錐體的體積公式是,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)滿足 i，其中i為虛數(shù)單位，則等于
A．i B．i C． D．
2．已知集合，則集合的子集個數(shù)為
A． B． C． D．
3．命題“對任意R，都有”的否定是
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．對任意R，都有
4. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是
A． B． C． D．
5．有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字與，另一張的正反面分別寫著數(shù)字與，
將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是
A． B． C． D．
6．一個幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體
的體積為
A． B．
C． D．
7．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，公差，
若，則正整數(shù)的值為
A． B．
C． D．
8．在△中，，，， 則的值為
A． B． C． D．
9．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段
的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
10．將正偶數(shù)按表的方式進行
排列，記表示第行第列的數(shù)，若
，則的值為
A． B．
C． D．
表1
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
11．不等式的解集為 .
12. 已知四邊形是邊長為的正方形，若，則的值
為 .
13．設(shè)滿足約束條件 若目標函數(shù)的最大值
為，則的最大值為 .
（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）
14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，直線為參數(shù)與
圓為參數(shù)相切，切點在第一象限，則實數(shù)的值為 .
15．（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點在線段上，且
，連接，與相交于點，若△的面積為 cm，則
△的面積為 cm.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，R .
(1) 求函數(shù)的最小正周期和值域；
（2）若，且，求的值.
17．（本小題滿分12分）
學成績, 制成表所示的頻率分布表.
(1) 求，，的值;
(2) 若從第三, 四, 五組中用分層抽樣方法抽取6名學生，并在這6名學生中隨機抽取2
名與張老師面談，求第三組中至少有名學生與張老師面談的概率.
組號 分組 頻數(shù) 頻率
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
合 計
表2
18．（本小題滿分14分）
如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，∥平面， ，，，是的中點.
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求五面體的體積.
圖
19．（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列的前項和為R，且成等比數(shù)列.
（1）求的值；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，R .
（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當時，函數(shù)在區(qū)間N上存在極值，求的最大
值.
( 參考數(shù)值: 自然對數(shù)的底數(shù)≈)
21．（本小題滿分14分）
已知點在拋物線上，直線R，且與拋物線
相交于兩點，直線分別交直線于點.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若
不是，說明理由.
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．
4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．
答案：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C B A D A C
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（1）解：∵，
∴ 函數(shù)的最小正周期為. ……………2分
∵R，， ……………3分
∴. ……………4分
∴ 函數(shù)的值域為. ……………5分
（2）解法1：∵，
∴. ……………6分
∴. ……………7分
∴ ……………9分
……………11分
. ……………12分
解法2：∵，
∴ . ……………6分
∴. ……………7分
∴. ……………8分
兩邊平方得. ……………10分
∴ . ……………12分
17．（本小題滿分12分）
(1) 解：依題意，得，
解得，，，. ……………3分
(2) 解：因為第三、四、五組共有60名學生，用分層抽樣方法抽取6名學生，
則第三、四、五組分別抽取名，名，名. …………6分
第三組的名學生記為，第四組的名學生記為，第五組的名學生記為，
則從名學生中隨機抽取名，共有種不同取法，具體如下：，，，，，，，，，
，，，，，. ……………8分
其中第三組的名學生沒有一名學生被抽取的情況共有種，具體如下：，，. ……………10分
故第三組中至少有名學生與張老師面談的概率為. ……………12分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：連接，與相交于點，則點是的中點，連接，
∵是的中點，
∴∥，. ……………1分
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥. ……………2分
∵，
∴∥，.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，. ……………3分
∵平面，平面，
∴∥平面. ……………4分
（2）證法1：取的中點，連接，則，
由（1）知，∥，且，
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，. ……………5分
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………6分
在△中，，，，
∴.
∴. ……………7分
∴，即.
∵四邊形是正方形，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
證法2：在Rt△中，為的中點，
∴.
在△中，,
∴.
∴. ……………5分
∵∥,
∴. ……………6分
∵平面, 平面, ,
∴平面.
∵平面,
∴. ……………7分
∵四邊形是正方形，
∴. ……………8分
∵平面, 平面, ,
∴平面. ……………9分
（3）解：連接，
在Rt△中，，
∴.
由（2）知平面，且∥，
∴平面. ……………10分
∵平面, ∥，
∴平面. ……………11分
∴四棱錐的體積為. ………12分
∴三棱錐的體積為. ………13分
∴五面體的體積為. ……………14分
19．（本小題滿分14分）
（1）解法1：當時，， ……………1分
當時， ……………2分
. ………3分
∵是等差數(shù)列，
∴，得. ……………4分
又， ……………5分
∵成等比數(shù)列，
∴，即， ……………6分
解得. ……………7分
解法2：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則. ……………1分
∵，
∴，，. ……………4分
∴，，.
∵成等比數(shù)列，
∴， ……………5分
即.
解得. ……………6分
∴. ……………7分
（2）解法1：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴，①
……………10分
，② ……………11分
①②得.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴.
……………10分
由， ……………11分
兩邊對取導(dǎo)數(shù)得，. …………12分
令，得.
∴. ……………14分
20．（本小題滿分14分）
（1）解法1：函數(shù)的定義域為, ……………1分
∵， ∴. ……………2分
∵ 函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴ , 即對都成立. ……………3分
∴ 對都成立. ……………4分
當時, , 當且僅當, 即時,取等號.
……………5分
∴, 即.
∴的取值范圍為. ……………6分
解法2：函數(shù)的定義域為, ……………1分
∵， ∴.……………2分
方程的判別式. ……………3分
當, 即時, ,
此時, 對都成立,
故函數(shù)在定義域上是增函數(shù). ……………4分
當, 即或時, 要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù), 只需對都成立.
設(shè), 則得.
故. ……………5分
綜合①②得的取值范圍為. ……………6分
（2）解：當時, .
. ……………7分
∵ 函數(shù)在N上存在極值，
∴ 方程在N上有解,
即方程在N上有解. ……………8分
令, 由于, 則,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. ……………9分
∵, ……………10分
, ……………11分
∴函數(shù)的零點. ……………12分
∵方程在 N上有解, N
∴. ……………13分
∵N，
∴的最大值為. ……………14分
21．（本小題滿分14分）
（1）解：∵點在拋物線上， ∴. ……………1分
第（2）、（3）問提供以下兩種解法：
解法1：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)點的坐標分別為，依題意，，
由消去得，
解得.
∴. ……………2分
直線的斜率，
故直線的方程為. ……………3分
令，得，∴點的坐標為. ……………4分
同理可得點的坐標為. ……………5分
∴
. ……………6分
∵， ∴.
由，得，
解得, 或, …………… 7分
∴直線的方程為，或. ……………9分
（3）設(shè)線段的中點坐標為，
則
. ……………10分
而， ……………11分
∴以線段為直徑的圓的方程為.
展開得. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點. ……………14分
解法2：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為，點的坐標為，
由解得
∴點的坐標為. ……………2分
由消去，得，
即，解得或.
∴，.
∴點的坐標為. ……………3分
同理，設(shè)直線的方程為，
則點的坐標為，點的坐標為. …………4分
∵點在直線上，
∴.
∴. ……………5分
又，得，
化簡得. ……………6分
， ……………7分
∵，
∴.
∴.
由，
得，
解得. ……………8分
∴直線的方程為，或. …………… 9分
（3）設(shè)點是以線段為直徑的圓上任意一點，
則， ……………10分
得， ……………11分
整理得，. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴ 以線段為直徑的圓恒過兩個定點. ……………14分
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