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2014
東城一模考試文科
數(shù)學(xué)試題答案
東城區(qū)2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)檢測(cè)
學(xué)校_____________班級(jí)_________姓名__________考號(hào)__________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題部分（共40分）
一 、選擇題： 本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1．設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6} ，設(shè)集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，則P∩（CUQ）=
A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}
C.{1，2，5} D.{1,2}
2. 在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加6后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是
A. 眾數(shù) B..平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差
3. 已知i是虛數(shù)單位，若,則z的共軛復(fù)數(shù)為
A 1-2i B 2-4i C D 1+2i
4．設(shè)是直線，a，β是兩個(gè)不同的平面,
A. 若∥a，∥β，則a∥β B. 若∥a，⊥β，則a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，則⊥β D. 若a⊥β, ∥a，則⊥β
5． 函數(shù)的最大值與最小值之差為
A B. 4 C. 3 D.
6．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
7．已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線
的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為
A. B. C. D.
8．已知，且
，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①；②；③；④.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
非選擇題部分（共110分）
二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 已知變量x、y滿足條件則的最大值是______.
10. 經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線
方程是 ．
11. 曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 .
12. 在數(shù)列， ，
13. 已知平面向量，．若，
則_____________．
14. 定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知
曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距
離，則實(shí)數(shù)a=_______.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分12分）
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面積.
16. （本題滿分14分）
如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，
∠PAC=∠PBC=90 o
（Ⅰ）證明:：AC=BC；
（Ⅱ）證明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若，且平面⊥平面，
求三棱錐體積.
17. （本題滿分13分）
一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):
轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(Ⅰ) 求z的值；
(Ⅱ) 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；
(Ⅲ) 用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.
18．設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，有，求的取值范圍．
已知橢圓，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)分別在橢圓和上，，求直線的方程．
m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.
（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，
寫出所有的；
（Ⅱ）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（C為常數(shù)，k=1,2,…,m）.求證：（k=1,2,…,m）.
東城區(qū)2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)檢測(cè)
一 、選擇題：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C.
二、填空題: 9. 6; 10.; 11. ;
12. ; 13. ; 14.
三、解答題：
15.（本題滿分12分）
（Ⅰ）bsinA=acosB，
由正弦定理可得，
即得，. . ………………5分
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，
由余弦定理，，
解得，.
△ABC的面積= ………………12分
16. （本題滿分14分）
（Ⅰ）因?yàn)槭堑冗吶切危?
所以,可得.
………………3分
（Ⅱ）如圖，取中點(diǎn)，連結(jié),,
則,,
所以平面,
所以. ．．．．．．7分
(Ⅲ)作，垂足為，連結(jié)．
因?yàn)椋?/div>
所以，．
由已知，平面平面，故．
因?yàn)椋远际堑妊苯侨切巍?/div>
由已知，得， 的面積．
因?yàn)槠矫妫?/div>
所以三棱錐的體積 ．．．．．．14分
17. （本題滿分13分）
: (Ⅰ).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,,
所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分
(Ⅱ) 設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車,
因?yàn)橛梅謱映闃? 所以,解得m=2,
即抽取了2輛舒適型轎車, 3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,
則從中任取2輛的所有基本事件為(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10個(gè),
其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個(gè)基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為. ．．．．．．9分
(Ⅲ)樣本的平均數(shù)為,
那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的數(shù)為9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,
所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率為.. ．．．．．．13分
18．（）當(dāng)
．
又當(dāng)，
．
（）當(dāng)時(shí)，．
對(duì)任意上的最大值 與最小值之差,據(jù)此分類討論如下：
（），．
（），
．
（），
．
綜上可知，．（）由已知可設(shè)橢圓的方程為，
其離心率為，故，則．
故橢圓的方程為． ．．．．．．5分
（）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
由及（）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為．
將代入中，得，
所以，
將代入中，得，
所以，
又由，得，即．
解得，故直線的方程為或．
為：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5,； 2, 3, 4, 5,；2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5,，
，
所以.
